Ծնվել է մաթեմատիկայի ուսուցչուհու և ռուսական բանակի նախկին սպայի ընտանիքում։ Իր հայրական պապը՝ Իվան Ալեքսանդրովիչ Լադիժենսկին, ռուս նկարիչ Գ. Ա. Լադիժենսկիի եղբայրն է։

1939 թվականին փորձել է ընդունվել Սանկտ Պետերբուրգի պետական համալսարանի մաթեմատիկա-մեխանիկական ֆակուլտետը, բայց չի ընդունվել՝ որպես բռնադատվածի աղջիկ:Ընդունվել է մանկավարժական ինստիտուտ, որն ավարտել է 1941 թվականի պատերազմի սկզբին։1943 թվականին ընդունվել է Մոսկվայի պետական համալսարանիմեխանիկամաթեմատիկական ֆակուլտետ, որը գերազանցությամբ ավարտել է 1947 թվականին (գիտական ղեկավար՝ Ի. Պետրովսկի)։ Այդ նույն թվականին ամուսնացել և տեղափոխվել է Լենինգրադ, որտեղ Սանկտ Պետերբուրգի պետական համալսարանում ավարտել է ասպիրանտուրան (Սերգեյ Սոբոլևիղեկավարությամբ)։ 1949 թվականին պաշտպանել է թեկնածուական ատենախոսությունը։ 1950 թվականին Սանկտ Պետերբուրգի պետական համալսարանում ֆիզիկայի ֆակուլտետում անցել է աշխատանքի։

1955 թվականից մինչև կյանքի վերջը եղել է Սանկտ Պետերբուրգի պետական համալսարանի բարձրագույն մաթեմատիկայի և մաթեմատիկական ֆիզիկայի ամբիոնի պրոֆեսոր։

1981 թվականի դեկտեմբերի 29-ից ԽՍՀՄ ԳԱ մաթեմատիկայի բաժանմունքի թղթակից անդամ է, 1990 թվականի դեկտեմբերի 15-ից՝ ԽՍՀՄ ԳԱ ակադեմիկոս։

1990 թվականից 1998 թվականից Սանկտ-Պետերբուրգի մաթեմատիկական հասարակության նախագահն է։

Բոննի համալսարանի պատվավոր դոկտոր (Գերմանիա) է։

Եվրոպական ակադեմիայի անդամ, Դեի Լինչեի ազգային ակադեմիայի անդամ (Իտալիա), Գերմանիայի Լեոպոլդիան բնական գիտությունների ակադեմիայի արտասահմանցի անդամ է։

Օլգա Լադիժենսկայան երեխաներ չի ունեցել։

4.

x + y + z = 12

x + y + z = 48

3x – 2y – z = ?

 =  =  = 4

 =  = 4

4 = 4 =>  x = y = z = 4

3x – 2y – z = O

6.

x+ 2x– 4x + 1 = 0

x+ x + x – ?

x+ x + x = -2

x+ x+  x+ x +  x+ x = -4

( x+ x + x) =  x+ x + x + 2 (x+ x+  x+ x +  x+ x)

= (-2) = 4

x+ x + x+ 2 (-4) = 4

x+ x + x = 12

7.

2*10

2*5 և 5*2

4*5

2 + C  = 2 +  = 2 +  = 2 + 21 = 23

8.

BC = AB+ AC –  2AB AC * cos A

196 = 100 + 256 – 2*160 * cos A =  => A = 60=> անկ․ BEC = 180– 60 = 120=> անկ․ EBC = = 30

1.  278.

ա)+= 1

1++ = = = =

279.

բ) coscos (2) cos (4) cos (8) cos (16) =

 =  = = =

= = cos co2 cos  cos

 cos

280.

sin42 = 2sincos(2) = 4sin cos (cos-sin) =  4sin  cos –  4sin cos

cos 4 = cos – sin(2) = (cos-sin) – (2sin cos) = cos + sin – 2sin

cos – 4sin cos = cos + sin – 6sin cos

281.

ա) sinA + sinB + sinC = 4cos* cos  * cos

sinA + sinB + sinC = 2sin () cos () + sin () =

Քանի որ  A+B = 180– C    = 90–   => sin () = cos

= 2cos () cos() + 2 sin () cos () =  2cos () (cos+ sin ) = 2cos () (cos+ sin

) = 2cos () (cos+ sin (90+)) = 2cos () (cos+ cos ) = 2cos () (2cos

() cos ()) = 2cos () (2coscos ()) = 4cos  cos cos

282.

sin (45+) +sin (45–) = 2 sin () cos  () = 2sin(45+ )  – sin (45– ) = 2cos () sin () = 2 cos 45sin = sin

 =  = ctg(

 =  = ctg( )

• Կոսինուսի նշանները

  1) Առաջին քառորդում սինուսը, կոսինուսը, տսնգենսը և կոտանգենսը դրական են:

  2) Երկրորդ քառորդում սինուսը դրական է, իսկ կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը բացասական են:

  3) Երրորդ քառորդում սինուսը և կոսինուսը բացասական են, իսկ տանգենսն ու կոտանգենսը՝ դրական:

  4) Չորրորդ քառորդում կոսինուսը դրական է, իսկ սինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը՝ բացասական:

  Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

  cos(−α)=cosα

  sin(−α)=−sinα

  tg(−α)=−tgα

  ctg(−α)=−ctgα

                                                                         Բերման բանաձևեր:

  tg(α±π)=tgα,  ctg(α±π)=ctgα:

  Գումարի և տարբերության սինուսի և կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի բանաձևերը

  1) Երկու անկյունների գումարի կոսինուսը հավասար է այդ անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և սինուսների արտադրյալի տարբերությանը՝

  cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny:

  2) Երկու անկյունների գումարի սինուսը հավասար է առաջին անկյան սինուսի և երկրորդ անկյան կոսինուսի արտադրյալին գումարած առաջին անկյան կոսինուսի և երկրորդ անկյան սինուսի արտադրյալը՝

  sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny:

  3) Երկու անկյունների տարբերության սինուսը հավասար է առաջին անկյան սինուսի և երկրորդ անկյան կոսինուսի արտադրյալից հանած առաջին անկյան կոսինուսի և երկրորդ անկյան սինուսի արտադրյալը՝

  sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny:

  4) Երկու անկյունների տարբերության կոսինուսը հավասար է այդ անկյունների կոսինուսների արտադրյալի և սինուսների արտադրյալի գումարին՝

  cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny:

  Կրկնակի անկյան սինուսն ու կոսինուսը, տանգենսն ու կոտանգենսը

  sin2x=2sinx⋅cosx

  cos2x=cos2x-sin2x

  cos2x=1-2sin2x

  cos2x=2cos2x-1

  Աստիճանի իջեցման բանաձևերը

  cos2x=2cos2x-1 բանաձևից ստանում ենք աստիճանի իջեցման կոսինուսի բանաձևը՝

  cos2x=1+cos2x2

  cos2x=1-2sin2xբանաձևից ստանում ենք աստիճանի իջեցման սինուսի բանաձևը՝

  sin2x=1-cos2x2

  Կես անկյան բանաձևերը

  Այս բանաձևում աջ մասի նշանը պետք է ընտրել այնպես, որ աջ և ձախ մասերի նշանները համընկնեն:

  Ապացուցված բանաձևերը, երբ x/2 անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը արտահայտվում է x անկյան ֆունկցիաների արժեքներով, կոչվում են կես անկյան բանաձևեր:

  Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի բանաձևերը

  cos(α+β)=cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ

  cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅si

  sinα⋅sinβ=1/2(cos(α−β)−cos(α+β)):

  cosα⋅cosβ=1/2(cos(α+β)+cos(α−β)):

  sin(α+β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ

  sin(α−β)=sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ

  sinα⋅cosβ=1/2(sin(α+β)+sin(α−β)):

  Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը

  cosα⋅cosβ=1/2(cos(α+β)+cos(α−β))

  cosx+cosy=2cosx+y2cosx-y2:

  sinα⋅sinβ=1/2(cos(α−β)−cos(α+β))

  sinα⋅cosβ=1/2(sin(α−β)+sin(α+β)) բանաձևերից համապատասխանաբար ստանում ենք՝

  Վերջին բանաձևում y-ի փոխարեն −y տեղադրելով, ստանում ենք՝

  Ստացված բանաձևերը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի բանաձևեր:

Առաջադրանք 168

ա)

,

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 170

ա)

,

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 178

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

զ)

է)

ը)

թ)

Առաջադրանք 179

ա)

բ)

գ) 240

դ)

ե)

զ)

Առաջադրանք 180

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

զ)

Առաջադրանք 181

ա)

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 182

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

զ)

Առաջադրանք 183

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

զ)

Առաջադրանք 184

ա)

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 186

ա)

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 191

ա)

բ)

28.10

Առաջադրանք 198

ա) cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny

բ) cos(x+y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny

գ)sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny

դ)sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny

ե)

զ)

Առաջադրանք 199

ա)

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 201

ա)

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 203

ա)

բ)

գ)

դ)

Առաջադրանք 207

ա)

ա)  I

բ)  III

գ) ոչ մի քառ․ -90°

դ)  I

ե) IV

զ)  IV

ա) II

բ) III

գ) IV

ե) ոչ մեկ 240°

զ) IV

ա) sin²α

բ) tg²α

գ) ctg²α = 1/sin²α

դ) 1+tg²β = 1/cos²α

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Միավոր շրջանագծի վրա վերցնենք B(x;y) կետը և դիտարկենք OBD ուղղանկյուն եռանկյունը:

Գիտենք, որ

• sinα=BD/OB=y/1
• cosα=OD/OB=x/1
• tgα=BD/OD=y/x
• ctgα=OD/BD=x/y

Այսպիսով՝

B(cosα;sinα)

1. sinα կոչվում է B կետի y կոորդինատը՝  օրդինատը:

2. cosα կոչվում է B կետի x կոորդինատը՝ աբսցիսը:

3. tgα կոչվում է B կետի օրդինատի հարաբերությունը աբսցիսին:

4. ctgα կոչվում է B կետի աբսցիսի հարաբերությունը օրդինատին:

Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:

Քանի որ միավոր շրջանագծի վրայով դրական կամ բացասական ուղղություններով լրիվ պտույտներ կատարելիս կետի դիրքը չի փոխվում, ապա՝

• sin(α±2π)=sinα
• cos(α±2π)=cosα
• tg(α±2π)=tgα
• ctg(α±2π)=ctgα

α k∈Z	2πk	π/2+2πk	π+2πk	3π/2+2πk
sinα	0	1	0	−1
cosα	1	0	−1	0
tgα	0	որոշված չէ	0	որոշված չէ
ctgα	որոշված չէ	0	որոշված չէ	0

Ուղղանկյան եռանկյան սուր անկյան սինուսը և կոսինուսը սահմանվում են այսպես:

Միավոր շրջանագծի միջոցով սահմանվում են սինուսի և կոսինուսի արժեքները այլ անկյունների համար:

Սինուսի արժեքները գտնվում են Oy առանցքի վրա:

Կոսինուսի արժեքները գտնվում են Ox առանցքի վրա:

Կարևոր է հիշել սինուսի և կոսինուսի հետևյալ արժեքները:

sin0°=0 sin90°=1 sin180°=0 sin270°=−1 sin360°=0

cos0°=1 cos90°=0 cos180°=−1 cos270°=0 cos360°=1

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետևյալ արժեքները պետք է անգիր իմանալ: 

	30°	45°	60°
sinα	1/2	2√2	3√2
cosα	3√2	2√2	1/2
tgα	3√3	1	3√

Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝ cos(−α)=cosα, sin(−α)=−sinα:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենսը և կոտանգենսը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝

 

Առաջադրանք 112

Գտնել շրջանագծի շառավիղը, եթե հայտնի է, որ նրա՝ 1.5 ռադիան մեծությամբ կենտրոնական անկյունը հենված է 15սմ երկարությամբ աղեղի վրա:

Լուծում

α=1.5ռադիան= 85.5°

l=πR/180°*α ,   15=3.14R/180*85.5 ,  540=53.694R ,  R=10.05≈10

Առաջադրանք 113

Գտնել շրջանագծի շառավիղը, եթե հայտնի է, որ նրա՝ 2 ռադիան անկյունով սեկտորի մակերեսը 8սմ²:

Լուծում

α=2ռադիան=114°

S=πR²/360*α ,  8=3.14*R²/360*114 ,  R²≈8 , R= √8

Առաջադրանք 114

5սմ շառավղով շրջանագծի AB լարի երկարությունը 5սմ է: Գտնել AB աղեղի երկարությունը:

Լուծում

Քանի որ գոյանում է հավասարակողմ եռանկյուն⇒α=60° ⇒  l= (5π/180)60=30π/18= 5π/3

Առաջադրանք 115

10սմ շառավղող շրջանագծի սեկտորի մակերեսը 25սմ² է: Գտնել այդ սեկտորի պարագիծը:

Լուծում

S=πR²/360*α ,  25=100π/360*α ⇒ α≈28.66°

l=πR/180*α= (3.14*10/180)28.66= 4.999≈5

P= l+2R= 5+20=25

Առաջադրանք 101

1. 90°= π/2
2. 60°= 60π/180= π/3
3. 300°= 300π/180=5π/3
4. 10°= 10π/180= π/18
5. 45°= 45π/180= π/4
6. 72°=72π/180=2π/5
7. 216°= 216π/180=6π/5
8. -720°= -4π
9. 1200= 1200π/180= 20π/3

Առաջադրանք 102

1. 2π ռադ= 2*180= 360°
2. -π ռադ= -180°
3. π/5 ռադ= 180/5=36°
4. 3π/5 ռադ=3*180/5= 108°
5. -7π/12 ռադ= -7*180/12= -105°
6. -π/36 ռադ= -180/36= -5°
7. 12,5π ռադ= 12,5*180= 2250°
8. -6,25π ռադ= -6,25*180= -1125°

Առաջադրանք 103

1. α=π/2 ռադ      β=85°

α=90°      β=85°

α›β

2.α=π/5 ռադ      β=40°

α=36°      β=40°

α<β

3.α=π/10 ռադ      β=17°

α=18°      β=17°

α›β

4.α=2π/3 ռադ      β=130°

α=120°      β=130°

α<β

 

Առաջադրանք 105

1. α=250°⇒AOB=360-250=110°
2. α=18.2π ռադ⇒α=18.2*180=3276, AOB=36°
3. α=-0.7π ռադ⇒ α=0.7*180=126,AOB=126°
4. α=-410°⇒AOB= 410-360=50°
5. α=-900°⇒AOB= 180°
6. α=121π ռադ⇒ AOB= 180°

Առաջադրանք 107

α=730°⇒ α=(2*360)+10⇒ պատ.՝ 10°

α=19.5π ռադ ⇒α=(9*2π)+1.5π⇒ պատ.՝ 1.5π ռադ

α=-17.25π ռադ⇒α=(2π*9)-0.75π⇒ պատ.՝0.75π ռադ

α=-550°°⇒ α=(2*360)-170°⇒ պատ.՝ 170°

α=-10°⇒ պատ.՝ 350°

α=1221π ռադ⇒α=(2π*610)+1π⇒ պատ.՝ π ռադ

Առաջադրանք 108

α=π/4 ռադ      β=-300°

α=45°  β=-300°

α β

α=π/5 ռադ      β=-390°

α=36°  β=-390°

α β

α=π/4 ռադ      β=-45°

α=45°  β=-45°

α β

α=π/5 ռադ      β=-90°

α=36°  β=-90°

Անկյան ռադիանային չափը

Միավոր շրջանագիծ անվանում են այն շրջանագիծը, որի կենտրոնը գտնվում էկոորդինատների սկզբնակետում և, որի շառավիղը հավասար է 1-ի:

 

1) OX ճառագայթի դրական ուղղության և OA ճառագայթի կազմած անկյունը կոչվում է պտույտի անկյուն:

 

2) Պտույտի այն ուղղությունը, որը համընկնում է ժամացույցի սլաքի ուղղության հետ, կոչվում է բացասական ուղղություն, իսկ հակառակ ուղղությունը՝ դրական:

 

Կարևոր է հիշել 0,  90°,  180°,  270°,  360° անկյունների դիրքը:

 

1° մեծությամբ անկյունը փռված անկյան 1/180 մասն է:

 

Ռադիանը անկյան չափման այն միավորն է, երբ π ռադ=180°:

Այս հավասարությունից ստանում ենք՝ 1 ռադ =180°/π≈57°:

 

Գիտենք, որ R շառավղով շրջանագծի երկարությունը հավասար է l=2π⋅R: 

• Միավոր շրջանագծի երկարությունը կլինի 2π⋅1=2π, համապատասխանում է 360° կենտրանական անկյանը:
• Կիսաշրջանագծի երկարությունը կլինի՝ 1/2⋅2π=π, համապատասխանում է 180°կենտրանական անկյանը,

Շրջանագծի քառորդի երկարությունը կլինի՝ 1/4⋅2π=π/2, համապատասխանում է 90°կենտրանական անկյանը:

Քանի որ  360°∼2π  և  α°∼1,  ապա α°=360°/2π=180°/π:

Հիշենք, որ 1ռադ=180°/π: Հետևաբար, α-ն այն անկյունն է, որի ռադիանային չափը l ռադիան է:

 

Այսպիսով, մեկ ռադիան մեծությամբ անկյունն այն կենտրոնական անկյունն է, որի հենման աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին:

Միավոր շրջանագծի կետերի կոորդինատները

 

Դիտարկենք միավոր շրջանագիծը՝ (0;0) կենտրոնով և 1 շառավղով:

 

Շրջանագծի ցանկացած կետ ունի իր կոորդինատները: 

 

Օրինակ՝ A կետի կոորդինատներն են (1;0):

Գտնենք շրջանագծի այլ կարևոր կետերի կոորդինատները:

 

Դիտարկենք նկարի M կետը:  OA հատվածին M

կետից իջեցնենք MP ուղղահայացը և դիտարկենք 

OMP ուղղանկյուն եռանկյունը:Նկատենք, որ ∡MOP=45° կամ π/4 ռադ:

 

Այսպիսով, OMP-ը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն է՝ OP=MP: Այսինքն, M կետի կոորդինատները հավասար են՝ x=y:

 

Քանի որ M(x;y) կետը գտնվում է շրջանագծի վրա, հետևաբար, նրա կոորդինատները պետք է բավարարեն շրջանագծի հավասարմանը՝  x2+y2=1

Ուրեմն, կետի կոորդինատները գտնելու համար պետք է լուծել համակարգը՝ 

Առաջին հավասարման մեջ y-ի փոխարեն տեղադրենք x և լուծենք այն.

Հաշվի առանք, որ Mկետի կոորդինատները դրական են: 

Այսպիսով π/4 ռադ անկյանը համապատասխանող M կետի կոորդինատներն են՝ M(π/4)=M(√2/2;√2/2):

 

Նկատենք, որ եթե M(π/4) կետից միավոր շրջանագծի վրայով կատարենք լրիվ պտույտ՝ դրական կամ բացասական ուղղություններով (ժամացույցի սլաքի կամ նրան հակառակ ուղղությամբ), ապա կհայտնվենք նույն կետում:

 

Սա նշանակում է, որ π/4+2πk,k∈Z ռադ բոլոր անկյուններին ևս համապատասխանում է գտնված M(√2/2;√2/2) կետը:

Նման ձևով գտնենք π/6 ռադիան անկյանը համապատասխանող M կետի կոորդինատները:

MOP-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է: ∡MOP=30° կամ π/6 ռադ:

 

MPէջը գտնվում է 30° անկյան դիմաց և հավասար է ներքնաձիգի կեսին՝

 MP=1/2 , y=1/2 :*

Հաշվի առանք, որ M կետի կոորդինատները դրական են: Այսպիսով, π/6 ռադիան անկյանը համապատասխանող M կետի կոորդինատներն են՝

M(π/6)=M(√3/2;1/2):

 

Արդեն նշել ենք, որ π/6+2πk,k∈Z տեսքի բոլոր անկյուններին ևս համապատասխանում է գտնված M(√3/2;1/2) կետը: