Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Միավոր շրջանագծի վրա վերցնենք B(x;y) կետը և դիտարկենք OBD ուղղանկյուն եռանկյունը:
Գիտենք, որ
- sinα=BD/OB=y/1
- cosα=OD/OB=x/1
- tgα=BD/OD=y/x
- ctgα=OD/BD=x/y
Այսպիսով՝
B(cosα;sinα)
1. sinα կոչվում է B կետի y կոորդինատը՝ օրդինատը:
2. cosα կոչվում է B կետի x կոորդինատը՝ աբսցիսը:
3. tgα կոչվում է B կետի օրդինատի հարաբերությունը աբսցիսին:
4. ctgα կոչվում է B կետի աբսցիսի հարաբերությունը օրդինատին:
Սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:
Քանի որ միավոր շրջանագծի վրայով դրական կամ բացասական ուղղություններով լրիվ պտույտներ կատարելիս կետի դիրքը չի փոխվում, ապա՝
- sin(α±2π)=sinα
- cos(α±2π)=cosα
- tg(α±2π)=tgα
- ctg(α±2π)=ctgα
| α k∈Z | 2πk | π/2+2πk | π+2πk | 3π/2+2πk |
| sinα | 0 | 1 | 0 | −1 |
| cosα | 1 | 0 | −1 | 0 |
| tgα | 0 | որոշված չէ | 0 | որոշված չէ |
| ctgα | որոշված չէ | 0 | որոշված չէ | 0 |
Ուղղանկյան եռանկյան սուր անկյան սինուսը և կոսինուսը սահմանվում են այսպես:
sinα=a/c
cosα=կից էջ/ներքնաձիգ
cosα=b/c
Միավոր շրջանագծի միջոցով սահմանվում են սինուսի և կոսինուսի արժեքները այլ անկյունների համար:
Սինուսի արժեքները գտնվում են Oy առանցքի վրա:  |
Կոսինուսի արժեքները գտնվում են Ox առանցքի վրա:  |
Կարևոր է հիշել սինուսի և կոսինուսի հետևյալ արժեքները:
| sin0°=0 sin90°=1 sin180°=0 sin270°=−1 sin360°=0  |
cos0°=1 cos90°=0 cos180°=−1 cos270°=0 cos360°=1  |
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետևյալ արժեքները պետք է անգիր իմանալ:
| 30° | 45° | 60° | |
| sinα | 1/2 | 2√2 | 3√2 |
| cosα | 3√2 | 2√2 | 1/2 |
| tgα | 3√3 | 1 | 3√ |
Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝ cos(−α)=cosα, sin(−α)=−sinα:
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենսը և կոտանգենսը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝
tgα=a/b
ctgα=կից էջ/դիմացի էջ
ctgα=b/a
Տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները հաշվում ենք արդեն ծանոթ բանաձևերի միջոցով՝tgα=sinα/cosα ctgα=cosα/sinα
Կարևոր է հիշել տանգենսի և կոտանգենսի հետևյալ արժեքները:
| tg0°=0 tg90° գոյություն չունի tg180°=0 tg270° գոյություն չունի tg360°=0 |
ctg0° գոյություն չունի ctg90°=0 ctg180° գոյություն չունի ctg270°=0 ctg360° գոյություն չունի |
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետևյալ արժեքները պետք է անգիր իմանալ:
| 30° | 45° | 60° | |
| sinα | 1/2 | 2√2 | 3√2 |
| cosα | 3√2 | 2√2 | 1/2 |
| tgα | 3√3 | 1 | 3√ |
| ctgα | 3√ | 1 | 3√3 |
Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝tg(−α)=−tgα, ctg(−α)=−ctgα:
Կոորդինատային հարթության քառորդները համարակալում են այսպես՝
Քառորդների անկյունները ներկայացված են հետևյալ աղյուսակում:
| Միջակայքը ռադիաններով | Միջակայքը աստիճաններով | Քառորդը |
| (0;π/2) | (0°;90°) | I |
| (π/2;π) | (90°;180°) | II |
| (π;3π/2) | (180°;270°) | III |
| (3π/2;2π) | (270°;360°) | IV |
0, ±π/2, ±π, ±3π/2, ±2π անկյունները ոչ մի քառորդին չեն պատկանում:
Սինուսի նշանները Կոսինուսի նշանները
Օգտվելով tgα=sinα/cosα և ctgα=cosα/sinαբանաձևերի օգնությամբ գտնում ենք տանգենսի և կոտանգենսի արժեքների նշանները՝
(+)/(+)=(+) , (−)/(−)=(+) , (−)/(+)=(−) , (+)/(−)=(−)
Կոորդինատային հարթության քառորդները համարակալում են այսպես՝
1) Առաջին քառորդում սինուսը, կոսինուսը, տսնգենսը և կոտանգենսը դրական են:
2) Երկրորդ քառորդում սինուսը դրական է, իսկ կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը բացասական են:
3) Երրորդ քառորդում սինուսը և կոսինուսը բացասական են, իսկ տանգենսն ու կոտանգենսը՝ դրական:
4) Չորրորդ քառորդում կոսինուսը դրական է, իսկ սինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը՝ բացասական:
Ցանկացած α անկյան համար տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝
cos(−α)=cosα
sin(−α)=−sinα
tg(−α)=−tgα
ctg(−α)=−ctgα
Եռանկյունաչափական հիմնական նույնությունները
Միավոր շրջանագծի վրա վերցնենք A(x;y) կետը:
Համաձայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման՝
sinα=y
cosα=x
tgα=y/x
ctgα=x/y
Այսպիսով՝ A(cosα;sinα): Այստեղից հետևում է, որ՝
tgα=sin/cos
ctgα=cos/sin
tgα⋅ctgα=1
Այս հավասարությունները ճիշտ բոլոր այն անկյունների համար, որոնց դեպքերում, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն իմաստ ունեն և հայտարարները զրո չեն դառնում:
Հաշվի առնելով, որ A(x;y) կետը գտնվում է միավոր շրջանագծի վրա, այսինքն x2+y2=1, կամայական α-ի համար ստանում ենք՝
sin²+cos²=1
Այս հավասարությունը կոչվում է եռանկյունաչափական հիմնական նույնություն:
Եթե sin²α+cos²α=1 հիմնական նույնության երկու մասերը բաժանենք cos²α-ի վրա, ապա կստանանք անկյան տանգենսը կոսինուսի հետ կապող հետևյալ բանաձևը՝ 1+tg²α=1/cos²α, որը ճիշտ է բոլոր անկյունների համար, որոնց դեպքում կոսինուսը զրո չէ: Նույն կերպ, եթե բաժանենք sin²α-ի վրա, ապա կստանանք անկյան կոտանգենսը սինուսի հետ կապող հետևյալ բանաձևը՝ 1+ctg²α=1/sin²α, որը ճիշտ է բոլոր անկյունների համար, որոնց դեպքում սինուսը զրո չէ:
Առաջադրանք 123
ա) B(√2/2, √2/2)
բ) α=3π/4=135° B(-√2/2, √2/2)
գ)α=-π/4=45°, B(√2/2, -√2/2)
դ) α=-135°B(-√2/2, √2/2)
Առաջադրանք 124
ա) sin60°=√3/2 , sin30°=1/2 (1/2; √3/2)
բ) α=π/6=30° , (√3/2; 1/2)
գ)α=120° , (-1/2; √3/2)
դ) α=5π/6=150° , (-√3/2; 1/2) ⁄
Առաջադրանք 125
Լրացրեք աղյուսակը:
| 0° 0 |
30° π/6 |
45° π/4 |
60° π/3 |
90° π/2 |
120° 2π/3 |
135° 3π/4 |
150° 5π/6 |
180° π |
|
| sinα | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 |
| tgα | 0 | √3/3 | 1 | √3 | – | -√3 | -1 | -√3/3 | 0 |
| ctgα | – | √3 | 1 | √3/3 | 0 | -√3/3 | -1 | -√3 | – |
Առաջադրանք 126
ա) sin9π/4
sin(α±2π)=sinα ⇒ sin9π/4= sin(π/4 ± 2π)= sinπ/4=√2/2
բ) cos19π/4
cos(α±2π)=cosα ⇒cos19π/4= cos(3π/4 ± 2π*2)= cos3π/4= -√2/2
գ) tg13π/6
tg(α±2π)=tgα ⇒ tg13π/6= tg(3√3 ± 2π)= tg3√3
դ) tg(-570°)
tg(α±2π)= tgα ⇒ tg(-570°)= tg(570-2*360)=tg150°= -√3/3
ե) sin(-11π/6)
sin(2π+α)=sinα ⇒ sin(-11π/6)= 1/2
զ) cos810°
cos(α±2π)= cosα ⇒ cos810°= cos(720+90)=cos90°=0